El teorema de representación de Gromov

En este apartado desarrollaremos algunos de los conceptos básicos que serán usados en la parte principal del proyecto. La mayoría de resultados, sobre acciones de tipo tame, se pueden encontrar en el muy interesante libro. Los resultados básicos que se necesitan tienen que ver con acciones de grupos sobre variedades. De hecho, toda mi labor en los últimos años ha girado en torno a las acciones de grupos sobre variedades pseudo-Riemannianas. 

En este estudio nos hemos visto en la necesidad de amalgamar una gran cantidad de teorías matemáticas las cuales por sí mismas son importantes, y algunas de ellas algo complicadas. En este sentido nuestro proyecto integra áreas como el análisis, el álgebra y la geometría, para citar los más relevantes. Nos interesa, del análisis, que nuestras medidas sean ergódicas, y es por eso que la primera sección se basa en generalidades sobre acciones ergódicas y acciones de tipo tame.

Este último tipo de acción ha sido popularizada por Zimmer. Otro tipo de acciones que usaremos son las llamadas acciones algebraicas. Este tipo de acciones pertenecen al área de la geometría algebraica. Por eso en la segunda sección damos los elementos básicos sobre conjuntos algebraicos y la llamada topología Zariski. En las dos secciones anteriores todo lo expuesto es conocido, es decir aparece en algún libro o en algún artículo. 

Sin embargo, en la sección tercera hablamos del famoso teorema de Densidad de Borel, y por primera vez enunciamos y probamos un nuevo teorema. Este nuevo teorema viene siendo la versión semisimple del teorema de Densidad de Borel. Al mismo tiempo usamos esta nueva versión para calcular la envoltura algebraica, un concepto el cual fue inventado por Zimmer, y calculamos tal envoltura algebraica en un caso muy particular y del cual haremos uso posteriormente. En la última sección, antes de probar el resultado principal del proyecto, enunciamos, sin prueba, el teorema del centralizador de Gromov. Se hace la advertencia que tal teorema implica varios puntos pero que sólo hemos puesto el que nos interesa para nuestra labor. 

Conclusiones

El proyecto en cuestión sirvió de plataforma para lograr una aplicación inmediata del celebrado teorema del centralizador de Gromov. Cabe señalar que se logró poner tal resultado en un contexto más general que lo encontrado en la literatura, a saber el contexto de grupos de Lie semisimples y acciones algebraicas. Se cumplieron los objetivos, tanto generales como específicos que se apuntaron en el inicio del proyecto. Dos aspectos importantes a señalar en esta parte tienen que ver con la bibliografía y el tiempo en ejecutar el proyecto. En primer lugar, quiero defender la compra de libros y artículos en el ´área de matemáticas y física teórica, ya que no tenemos en nuestra biblioteca del ITCR los libros para iniciarse en los orfrm[o]–genes de casi cualquier área de la matemática, y mucho menos revistas. Tampoco contamos con grupos amplios o al menos reducidos de investigadores con los cuales interactuar.